벡터 해석에 대하여(2)

지난 포스팅에서 벡터 해석의 발전과 벡터 해석의 기본 연산-벡터 덧셈, 스칼라 곱셈에 대하여 알아보았습니다.

이번 포스팅에서는 벡터 해석 기본연산의 2장인 점곱, 가위곱에 대하여 알아보겠습니다.

벡터 해석의 기본연산

두 벡터의 점곱(dot product)을 계산하게되면 스칼라가 됩니다. 때문에 점곱의 또 다른 이름이 스칼라곱이라고도 불리웁니다.

두 벡터의 점곱은 다음 식으로 정의됩니다.

A∙B=ABcosθ_AB (0≤θ_AB ≤π)

여기서 A=lAl , B=lBl 이고, θ_AB는 A와 B의 사잇각입니다.

점곱은 A에 B의 A 방향성분(B의 A 위로의 정사영)인 Bcosθ_AB를 곱한 것입니다.

B에 A의 B 방향성분 (A의 B 위로의 정사영)인 Acosθ_AB를 곱해도 마찬가지입니다.

θ_AB>π/2이면 정사영은 음수가 됩니다.

점곱에서는 교환 법칙과 분배 법칙이 성립하는데요, 이는 다음과 같습니다.

B∙A=A∙B

A∙(B+C)=A∙B+A∙C

여기서 그림과 식에대해 고찰해보면, θ의 각에 따라 A∙B의 값이 달라 짐을 알 수 있는데요,

A∙B=AB (θ=0) 이며,

A∙B=0 (θ=π/2) 임을 알 수 있습니다.

추가로 벡터 A와 A의 점곱은 A²으로 나타내어집니다.

두 벡터의 가위곱(cross product)을 계산하면 벡터가 됩니다. 그래서 가위곱의 또 다른 이름이 벡터곱이라고 불리웁니다.

두 벡터의 가위곱은 다음 식으로 정의됩니다.

AxB=a_nABsinθ_AB (0≤θ_AB ≤π)

AxB의 크기인 ABsinθ는 A와 B가 만드는 평행사변형의 면적을 말합니다.

즉, 밑변x높이 입니다. 이때 A와 B중에서 어느 것을 밑변으로 삼아도 됩니다.

이때 그림에서 보이듯이 가위곱의 방향은 a_n이 가리키는 방향입니다.

여기서 a_n은 평행사변형이 높인 평면 즉, A와 B가 만드는 평면에 수직인 단위벡터를 말합니다.

이 a의 방향은 오른손의 규칙으로 구할 수 있는데요, AxB는 A와B에 각각 수직이라는 것을 잘 알아야합니다.

또한 가위곱에서는 분배 법칙이 성립합니다.

Ax(B+C)=AxB+AxC

그러나 점곱과는 다르게 가위곱에선 교환 법칙은 성립하지 않습니다.

AxB=-BxA 입니다.

여기서 그림과 식에대해 고찰해보면, θ의 각에 따라 A∙B의 값이 달라 짐을 알 수 있는데요,

lAxBl=AB (θ=π/2)이며,

lAxBl=0 (θ=0) 임을 알 수 있습니다.

추가로 벡터 A와A의 가위곱은 0입니다.

지난 포스팅에 이어 이번 포스팅에선 벡터 해석에 있어 벡터 해석의 기본연산에 대하여 알아보았습니다.

제 포스팅 처럼 단계적으로 기본부터 공부하신다면 크게 어렵지는 않았을것 같은데요, 앞으로도 저와 함께 차근히 알아가신다면 좋을것 같습니다.

다음 포스팅에서는 지금까지배운 벡터 해석의 기본연산을 토대로 직각 좌표계에서의 벡터 대수에 대한 해석을 공부하도록 하겠습니다.