라플라스 방정식과 푸아송 방정식

지금까지는 포스팅에서 정지해 있는 전하 분포나 편극이 주어진 경우에 전기장을 구하는 방법을 배웠습니다.

이 전기장 E를 경우에 따라 고찰해보고, 구하는 방법에 대하여 지금까지 학습해왔습니다. 

오늘 포스팅에서는 이 전기장을 구하는데 필요한 특수한 풀이법인 라플라스 방정식과 푸아송 방적식에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

특수한 풀이법의 필요성

편극이 주어지면 속박 분포전하를 구할 수 있습니다. 알고 있는 자유 또는 속박 전하분포가 어떤 대칭성을 가지고 있으면 가우스 법칙을 적용하여 전기장을 간편하게 구할 수 있습니다.

대칭성을 가지지 않은 임의의 전하분포의 경우에는 E를 곧바로 구하거나 전위 V를 먼저 구하고 이어서 -∇V를 계산하여 E를 쉽게 구할 수 있습니다.

그렇지만 도체들을 포함하고 있는 실제 정전기 문제에서는 각 도체의 총 전하나 전위를 원하는 값으로 설정할 수 있다고 해도 전하분포를 미리 알 수 없는 경우가 많습니다. 이러한 경우 위에서 언급한 방법은 전기장을 구하는 데는 별로 쓸모가 없으므로 다른 방법을 찾아야 합니다.

이 다른 방법을 두 가지의 특수한 풀이법에 대해 살펴보는데, 이 방법을 사용하면 좀 더 쉽게 전위를 구할 수 있습니다.

이 두 방법이 바로 영상법과 변수분리법 입니다.

이 두 방법을 사용하여 라플라스 방정식을 풀게 되는데, 전위 V는 2계 편미분방정식인 이 방정식을 반드시 만족해야 합니다. 이 두 방법은 어떤 특정한 정자기 문제를 풀 때도 사용할 수 있습니다.

 

라플라스 방정식과 푸아송 방정식

이번엔 라플라스 방정식과 푸아송 방정식을 유도해 보겠습니다. 이 두 방정식을 유도하기 위해선 다음 두가지 법칙을 설펴보아야 합니다.

∇xE = 0

∇·D = ρ_v

유전율이 ε인 선형이면서 균질한 유전체의 경우에는 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

∇·E = ρ_v/ε

위의 식은 다음과도 같이 쓸 수 있습니다.

E = -∇V

이 식을 위의 식에 대입하면 다음과 같습니다.

∇·(-∇V) = -∇·(∇V) = -∇²V = ρ_v/ε

이를 통해 다음의 방정식을 얻을 수 있습니다.

∇²V = -ρ_v/ε

여기서 ∇²V 를 V의 라플라시안이라고 하며, 위 식을 푸아송의 방정식이라고 합니다.

이 방정식은 2계 편미분 방정식으로, 선행 유전체에 전하 ρ가 주어지는 경우에 전위는 반드시 이 방정식을 따라야 합니다.

여기서 주목할 사실은 V는 스칼라이므로 V를 구하는 데는 한 개의 방정식(푸아송 방정식)만 있으면 된다는 것입니다. 반면에 E를 구하기 위해서는 발산과 회전을 포함하고 있는 두 개의 방정식이 필요합니다.

 

 ρ_v=0인, 전하가 없는 영억에서 V를 구해야 하는 경우가 많이 있습니다. 이 영역을 무원천 영역이라고 합니다.

이러한 영역에는

∇²V = 0 : 무원천영역

으로 표시가 되며, 이를 라플라스 방정식이라고 합니다.  ρ_v=0인, 전하가 없는 영역에서 어떻게 V와 E가 있을 수 있는지 이상하다는 생각이 들 수도 있을 것입니다.

전체 영역에서 ρ_v=0이면 당연히 V=0 입니다. 그렇지만 무원천 영역 밖에 존재하는 전하가 있으면 V와 E가 있을 수 있는 것입니다.

직각 좌표계에서 라플라스 라플라스 방정식을 써보면 다음과 같습니다.

 

직각좌표계에서 라플라스 방정식

 

오늘 포스팅에서는 라플라스 방정식과 푸아송의 방정식에 대하여 알아보았는데요, 이 방정식은 정전기학에서 꼭 필요한 방정식이며, 중력장, 정자기학, 열전도와 같은 다양한 물리학 분야에서도 많이 사용합니다. 때문에 앞으로도 계쏙 쓰일 경우가 많으니 이번기회에 제 글을 통해 알고가시면 좋으실 것 같습니다.